Question

How do you solve `2^(8x-3) = 5^(6x-9)` ?

Answer 1

`x=(3-9log_2 5)/(8-6log_2 5)=(3log_5 2 -9)/(8log_5 2-6)`.

Explanation:

For `a>0`, if `a^b=a^c` then `b=c`.

`5=2^(log_2 5)`

Thus

`color(white)=>2^(8x-3)=5^(6x-9)`
`=>2^(8x-3)=(2^(log_2 5))^(6x-9)`
`=>2^(8x-3)=2^((log_2 5)(6x-9))`

`=>8x-3=(log_2 5)(6x-9)`
`=>8x-3=6xlog_2 5-9log_2 5`

`=>8x-6xlog_2 5=3-9log_2 5`
`=>x(8-6log_2 5)=3-9log_2 5`

`=>x=(3-9log_2 5)/(8-6log_2 5)`

Another way:

`2=5^(log_5 2)`

So

`color(white)=>2^(8x-3)=5^(6x-9)`

`=>5^((log_5 2)(8x-3))=5^(6x-9)`

`=>8xlog_5 2-3log_5 2 = 6x-9`

`=>x(8log_5 2-6)=3log_5 2 -9`

`=>x=(3log_5 2 -9)/(8log_5 2-6)`