Integration by parts:
intudv=uv-intvdu∫udv=uv−∫vdu
I=inte^(2x)sin 7xdxI=∫e2xsin7xdx
e^(2x)=u => 2e^(2x)dx=due2x=u⇒2e2xdx=du
dv=sin 7xdx => v=intsin 7xdx=-1/7cos 7xdv=sin7xdx⇒v=∫sin7xdx=−17cos7x
I=-1/7e^(2x)cos 7x+2/7inte^(2x)cos 7xdxI=−17e2xcos7x+27∫e2xcos7xdx
Again:
e^(2x)=u => 2e^(2x)dx=due2x=u⇒2e2xdx=du
dv=cos 7xdx => v=intcos 7xdx=1/7sin 7xdv=cos7xdx⇒v=∫cos7xdx=17sin7x
I=-1/7e^(2x)cos 7x+2/7[1/7e^(2x)sin7x-2/7inte^(2x)sin7xdx]I=−17e2xcos7x+27[17e2xsin7x−27∫e2xsin7xdx]
I=-1/7e^(2x)cos 7x+2/49e^(2x)sin7x-4/49inte^(2x)sin7xdxI=−17e2xcos7x+249e2xsin7x−449∫e2xsin7xdx
I=-1/7e^(2x)cos 7x+2/49e^(2x)sin7x-4/49II=−17e2xcos7x+249e2xsin7x−449I
I+4/49I=-1/7e^(2x)cos 7x+2/49e^(2x)sin7xI+449I=−17e2xcos7x+249e2xsin7x
53/49I=-1/7e^(2x)cos 7x+2/49e^(2x)sin7x5349I=−17e2xcos7x+249e2xsin7x
I=-7/53e^(2x)cos 7x+2/53e^(2x)sin7x+CI=−753e2xcos7x+253e2xsin7x+C
I=1/53e^(2x)(2sin 7x-7cos 7x)+CI=153e2x(2sin7x−7cos7x)+C