Question

Prove that (tanA/(1-cotA))+(cotA/(1-tanA))=secA.cosecA+1?

Answer 1

Scroll below!!

Explanation:

`((tanA)/(1-cotA))+((cotA)/(1-tanA))`

`=((sinA/cosA)/(1-(cosA/sinA)))+((cosA/sinA)/(1-(sinA/cosA)))`

`=((sinA/cosA)/((sinA-cosA)/sinA) + (cosA/sinA)/((cosA-sinA)/cosA) )`

`=(sinA)^2 / (cosA(sinA-cosA))-(cosA)^2/(sinA(sinA-cosA))`

`=1/(sinA-cosA) * [(sinA)^2/cosA-(cosA)^2/sinA]`

`=1/(sinA-cosA) * [((sinA)^3-(cosA)^3)/(sinA*cosA)]`

`=1/cancel((sinA-cosA)) * [(cancel((sinA-cosA))((sinA)^2+(cosA)^2+sinA*cosA))/(sinAcosA)]`

Replace `sin^2A + cos^2A = 1`

`=(1+sinA*cosA)/(sinA*cosA)`

`=cosecA * secA +1`

hope you can get it!!

Answer 2

`LHS=(tanA/(1-cotA))+(cotA/(1-tanA))`

`=(tanA/(1-cotA))-(cot^2A/(-cotA+cotAtanA))`

`=(tanA/(1-cotA))-(cot^2A/(1-cotA))`

`=1/(1-cotA)*(1/cotA-cot^2A)`

`=((1-cotA)(1+cotA+cot^2A))/((1-cotA)cotA)`

`=(csc^2A+cotA)/cotA`

`=csc^2A/cotA+cotA/cotA`

`=1/sin^2AxxsinA/cosA+1`

`=1/(sinAxxcosA)+1`

`=secA*cosecA+1=RHS`

Answer 3

See the proof below

Explanation:

We need

`tanA=sinA/cosA`

`cotA=cosA/sinA`

`a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)`

`secA=1/cosA`

`cscA=1/sinA`

Therefore,

`LHS=tanA/(1-cotA)+cotA/(1-tanA)`

`=((sinA/cosA)/(1-cosA/sinA))+((cosA/sinA)/(1-sinA/cosA))`

`=((sinA/cosA)/((sinA-cosA)/sinA))-((cosA/sinA)/((sinA-cosA)/cosA))`

`=((sin^2A)/(cosA(sinA-cosA)))-((cos^2A)/(sinA(sinA-cosA)))`

`=(sin^3A-cos^3A)/(cosAsinA(sinA-cosA))`

`=(cancel(sinA-cosA)(sin^2A+sinAcosA+cos^2A))/((cosAsinA)cancel(sinA-cosA))`

`=(1+sinAcosA)/(cosAsinA)`

`=1/(cosAsinA)+1`

`=secAcscA+1`

`=RHS`

`QED`