Integrate csc^3 2x dx ?

2 Answers
Apr 4, 2018

I=116(tan2(x)+4ln(tan(x))1tan2(x))+C

Explanation:

We want to solve

I=csc3(2x)dx

Make a substitution u=2xdu=2dx

I=12csc3(u)du

Use tangent half-angle substitution s=tan(u2),
then csc(u)=1+s22s and du=21+s2ds

I=12(1+s22s)321+s2ds

I=(1+s2)28s3ds

I=18s4+2s2+1s3ds

I=18s+2s1+s3ds

I=18(12s2+2ln(s)12s2)+C

I=116(s2+4ln(s)1s2)+C

Substitute back s=tan(u2) and u=2x

I=116(tan2(x)+4ln(tan(x))1tan2(x))+C

Apr 4, 2018

I=14[csc(2x)cot(2x)+ln|csc(2x)+cot(2x)|]+c

Explanation:

Here,

I=csc32xdx

=(csc2x)(csc2(2x))dx

=(cot2(2x)+1)csc2(2x)dx

Let,

cot(2x)=ucsc2(2x)2dx=du

csc2(2x)dx=12du

I=u2+1(12)du

We know that,

x2+a2dx=x2x2+a2+a22lnx+x2+a2+c

I=12u2+12du

=12[u2u2+1+12lnu+u2+1]+c

substituting back u=cot2x

=12[cot(2x)2cot2(2x)+1+12lncot(2x)+cot2(2x)+1]+c

=12[cot(2x)2csc(2x)+12ln|cot(2x)+csc(2x)|]+c

=14[csc(2x)cot(2x)+ln|csc(2x)+cot(2x)|]+c