Question

What is the limits of : `LIM_(x->0) (e^(2x)-1)^(x^2)` ?

Answer 1

`lim_(x->0)(e^(2x)-1)^(x^2)=1`

Explanation:

`lim_(x->0)(e^(2x)-1)^(x^2)=^((0^0)` ?

• `(e^(2x)-1)^(x^2)=e^(ln(e^(2x)-1)^(x^2))=e^(x^2ln(e^(2x)-1)`

`lim_(x->0)x^2ln(e^(2x)-1)=lim_(x->0)ln(e^(2x)-1)/(1/x^2)=^(((-oo)/(+oo))`

Using L'Hospital Rules we get:

`lim_(x->0)((2e^(2x))/(e^(2x)-1))/(-2/x^3)` `=`

`-lim_(x->0)(x^3e^(2x))/(e^(2x)-1)=_(DLH)^((0/0))`

`-lim_(x->0)(3x^2e^(2x)+2x^3e^(2x))/(2e^(2x))=0/2=0`

As a result,

`lim_(x->0)(e^(2x)-1)^(x^2)=lim_(x->0)e^(x^2ln(e^(2x)-1)`

Set

`x^2ln(e^(2x)-1)=u`
`x->0`
`u->0`

`=` `lim_(u->0)e^u=e^0=1`