Question

Calculate `lim_(xto1)(e^f(x)-1)/(x-1)` ?

Given `f:RR->RR` continuous at `x_0=1` with `lim_(xto1)f(x)/(x-1)=4`

Answer 1

Deleted (wrong answer)

Answer 2

Any good?

Explanation:

`lim_(xto1)(e^f(x)-1)/(x-1)`

`= lim_(xto1)((1 + f(x) + (f^2(x))/(2!) + ...)-1)/(x-1)`

`= lim_(xto1)( f(x) + (f^2(x))/(2!) + ...)/(x-1)`

`= lim_(xto1)( f(x))/(x-1) + lim_(xto1) ((f^2(x))/(2!) )/(x-1) + ...`

`= lim_(xto1)( f(x))/(x-1) + lim_(xto1) (f(x))/(2!) f(x)/(x-1) + ...`

• `lim_(xto1)f(x)/(x-1)=4 implies lim_(xto1)f(x) =0`

`= 4+ 0* 4 + ... = 4`

Answer 3

For `x` near `1` , consider

`{(g(x)=f(x)/(x-1)" "),(lim_(xto1)g(x)=4" "):}` `<=>`

`{(f(x)=(x-1)g(x)" "),(lim_(xto1)g(x)=4" "):}`

Hence, `f(1)=lim_(xto1)f(x)=lim_(xto1)(x-1)g(x)=4*0=0`

`I=lim_(xto1)(e^f(x)-1)/(x-1)=lim_(xto1)(e^((x-1)g(x))-1)/(x-1)`

`lim_(xto1)g(x)=4` so there is `a>0` for which we have `0<` `a<` `g(x)` when `x->1`

`=` `lim_(xto1)(e^((x-1)g(x))-1)/((x-1)*g(x))*g(x)`

• `lim_(xto1)(e^((x-1)g(x))-1)/((x-1)*g(x))=`

Substitute

`(x-1)g(x)=t`
`x->1`
`t->0`

`lim_(t->0)(e^t-1)/t=_(DLH)^((0/0))lim_(t->0)((e^t-1)')/((t)')`

`=lim_(t->0)e^t=e^0=1`

Therefore `I=lim_(xto1)(e^f(x)-1)/(x-1)=1*4=4`