Question

We have `ABC` a scalene triangle, and a point `M` in plane of this triangle. How to prove that `vec(AB)*vec(CM)+vec(AC)*vec(MB)+vec(AM)*vec(BC) = 0`?

Answer 1

Please see the proof below

Explanation:

Apply Chasles' Relation

`vec(AB)*vec(CM)=(vec(AM)+vec(MB))vec(CM)=vec(AM)*vec(CM)+vec(MB)*vec(CM)`

`vec(AC)*vec(MB)=(vec(AM)+vec(MC))vec(MB)=vec(AM)*vec(MB)+vec(MC)*vec(MB)`

`vec(BC)*vec(AM)=(vec(BM)+vec(MC))vec(AM)=vec(BM)*vec(AM)+vec(MC)*vec(AM)`

But,

`vec(CM)=-vec(MC)`

`vec(MB)=-vec(BM)`

Therefore, Adding the first `3` equations

`(vec(AB)*vec(CM)+vec(AC)*vec(MB)+vec(BC)*vec(AM))`

`=vec(AM)*vec(CM)+vec(MB)*vec(CM)+vec(AM)*vec(MB)+vec(MC)*vec(MB)+vec(BM)*vec(AM)+vec(MC)*vec(AM)`

`=vec(AM)*vec(CM)-vec(AM)*vec(CM)+vec(MB)*vec(CM)-vec(MB)*vec(CM)+vec(AM)*vec(MB)-vec(AM)*vec(MB)`

`=0`

Answer 2

We have `ABC` a scalene triangle, and a point `M` in the plane of this triangle. We are to prove that `vec(AB)*vec(CM)+vec(AC)*vec(MB)+vec(AM)*vec(BC) = 0`

Now by triangle law we have

For `DeltaABC,vec(AB)=vec(AC)+vec(CB)....[1]`

For `DeltaBMC,vec(CM)=vec(CB)-vec(MB).. .[2]`

For `DeltaAMC,vec(CM)=vec(AM)-vec(AC).. .[3]`

Now using [1] we get

`vec(AB)*vec(CM)=vec(AC)*vec(CM)+vec(CB)*vec(CM)`

`=>vec(AB)*vec(CM)=vec(AC)*vec(CM)-vec(BC)*vec(CM)`

`=>vec(AB)*vec(CM)=vec(AC)*(vec(CB)-vec(MB))-vec(BC)*(vec(AM)-vec(AC))`

`=>vec(AB)*vec(CM)=-vec(AC)*vec(BC)-vec(AC)*vec(MB)-vec(BC)*vec(AM)+vec(BC)vec(AC)`

`=>vec(AB)*vec(CM)+vec(AC)*vec(MB)+vec(AM)*vec(BC) = 0`