TO PROVE
tanx/(1-cotx)+cotx/(1-tanx)=1+tanx+cotxtanx1−cotx+cotx1−tanx=1+tanx+cotx
LHS=tanx/(1-cotx)+cotx/(1-tanx)LHS=tanx1−cotx+cotx1−tanx
=tan^2x/(tanx(1-cotx))+cotx/(1-tanx)=tan2xtanx(1−cotx)+cotx1−tanx
=tan^2x/(tanx-tanxcotx)+cotx/(1-tanx)=tan2xtanx−tanxcotx+cotx1−tanx
=cotx/(1-tanx) -tan^2x/(1-tanx) =cotx1−tanx−tan2x1−tanx
=cotx/(1-tanx) -(cotxtan^3x)/(1-tanx) =cotx1−tanx−cotxtan3x1−tanx
=(cotx/(1-tanx))(1 -tan^3x) =(cotx1−tanx)(1−tan3x)
=(cotx/cancel(1-tanx))cancel((1 -tanx))(1+tanx+tan^2x)
=cotx(1+tanx+tan^2x)
=cotx+cotxtanx+cotxtan^2x
=cotx+1+tanx
=1+cotx+tanx=RHS
proved