Question

How do you prove`tanx/(1+cosx) + sinx/(1-cosx)=cotx+(secx)(cscx)`?

Answer 1

To prove `tanx/(1+cosx) + sinx/(1-cosx)=cotx+(secx)(cscx)`

`LHS=(sinx(1-cosx))/(cosx(1+cosx)(1-cosx)) + (sinx(1+cosx))/((1-cosx)(1+cosx))`

`=(sinx(1-cosx))/(cosx(1-cos^2x)) + (sinx(1+cosx))/((1-cos^2x))`

`=(sinx(1-cosx))/(cosxsin^2x)+ (sinx(1+cosx))/(sin^2x)`

`=(1-cosx)/(cosxsinx)+ (cosx(1+cosx))/(sinxcosx)`

`=(1-cosx+cosx(1+cosx))/(sinxcosx)`

`=(1-cosx+cosx+cos^2x)/(sinxcosx)`

`=(1+cos^2x)/(sinxcosx)`

`=cos^2x/(sinxcosx)+1/(sinxcosx)`

`=cosx/sinx+1/(sinxcosx)`

`=cotx+cscxsecx=RHS`

Proved