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Answer 1 · 2018-03-10T09:49:27

$sum_(r=0)^nr/(C_r^n)=(na)/2$

If $a=sum_(r=0)^n1/(C_r^n)$

= $1/(C_0^n)+1/(C_1^n)+1/(C_2^n)+1/(C_3^n)+.....+1/(C_(n-3)^n)+1/(C_(n-2)^n)+1/(C_(n-1)^n)+1/(C_n^n)$

= $1+1/(C_1^n)+1/(C_2^n)+1/(C_3^n)+.....+1/(C_3^n)+1/(C_2^n)+1/(C_1^n)+1$

= $2+2[1/(C_1^n)+1/(C_2^n)+1/(C_3^n)+.....]$

or $1/(C_1^n)+1/(C_2^n)+1/(C_3^n)+.....=(a-2)/2$

Hence $sum_(r=0)^nr/(C_r^n)$

= $0+1/(C_1^n)+2/(C_2^n)+3/(C_3^n)+.....+(n-3)/(C_(n-3)^n)+(n-2)/(C_(n-2)^n)+(n-1)/(C_(n-1)^n)+n/(C_n^n)$

= $(1+n-1)/(C_1^n)+(2+n-2)/(C_2^n)+(3+n-3)/(C_3^n)+....+n$

= $n/(C_1^n)+n/(C_2^n)+n/(C_3^n)+....+n$

= $n((a-2)/2)+n$

= $(na-2n+2n)/2$

= $(na)/2$