Let, #I=int(-2x^3-x)/(-2x^2+x+7)dx#
We have, #-2x^3-x=x(-2x^2+x+7)+1/2(-2x^2+x+7)-17/2x-7/2.#
#:.(-2x^3-x)/(-2x^2+x+7)=x+1/2+(-17x/2-7/2)/(-2x^2+x+7).#
Also, #d/dx(-2x^2+x+7)=-4x+1," we set, "-17/2x-7/2=17/8(-4x+1)-45/8.#
Thus, we have,
#(-2x^3-x)/(-2x^2+x+7)=x+1/2+{17/8d/dx(-2x^2+x+7)-45/8}/(-2x^2+x+7).#
#:. I=int[x+1/2+{17/8d/dx(-2x^2+x+7)-45/8}/(-2x^2+x+7)]dx, #
#=x^2/2+x/2+17/8ln|-2x^2+x+7|+45/8int1/(2x^2-x-7)dx,#
#=x^2/2+x/2+17/8ln|-2x^2+x+7|+45/16int1/(x^2-x/2-7/2)dx,#
#=x^2/2+x/2+17/8ln|-2x^2+x+7|+45/16intdx/{(x-1/4)^2-57/16),#
#=x^2/2+x/2+17/8ln|-2x^2+x+7|#
#+45/16*1/(2(sqrt57/4))ln|(x-1/4-sqrt57/4)/(x-1/4+sqrt57/4)|,#
# rArr I=x^2/2+x/2+17/8ln|-2x^2+x+7|#
#+45/(8sqrt57)ln|(4x-1-sqrt57)/(4x-1+sqrt57)|+C.#
Enjoy Maths.!
