Let
I=int1/(1+tanx)dxI=∫11+tanxdx
I=intcosx/(cos+sinx)dxI=∫cosxcos+sinxdx
cosx=l(cosx+sinx)+m(-sinx+cosx)+ncosx=l(cosx+sinx)+m(−sinx+cosx)+n
cosx=(l+m)cosx+(l-m)sinx+ncosx=(l+m)cosx+(l−m)sinx+n
Equating the coefficients of cosx sinx and constants
l+m=1, l-m=0, n=0l+m=1,l−m=0,n=0
l=1/2, n=1/2l=12,n=12
cosx=1/2(cosx+sinx)+1/2(-sinx+cosx)+0cosx=12(cosx+sinx)+12(−sinx+cosx)+0
I=intcosx/(cos+sinx)dxI=∫cosxcos+sinxdx
I=1/2int(cosx+sinx)/(cosx+sinx)dx+1/2int(-sinx+cosx)/(cosx+sinx)dxI=12∫cosx+sinxcosx+sinxdx+12∫−sinx+cosxcosx+sinxdx
I=1/2(I_1+I_2)I=12(I1+I2)
where,
I_1=int(cosx+sinx)/(cosx+sinx)dx=int1dx=xI1=∫cosx+sinxcosx+sinxdx=∫1dx=x
I_1=xI1=x
I_2=int(-sinx+cosx)/(cosx+sinx)dxI2=∫−sinx+cosxcosx+sinxdx
let
t=cosx+sinxt=cosx+sinx
dt/dx=-sinx+cosxdtdx=−sinx+cosx
dt=(-sinx+cosx)dxdt=(−sinx+cosx)dx
int(-sinx+cosx)/(cosx+sinx)dx=int((-sinx+cosx)dx)/(cosx+sinx)=intdt/t=lnt∫−sinx+cosxcosx+sinxdx=∫(−sinx+cosx)dxcosx+sinx=∫dtt=lnt
I_2=ln(cosx+sinx)I2=ln(cosx+sinx)
I=1/2(I_1+I_2)I=12(I1+I2)
intcosx/(cos+sinx)dx=1/2(x+ln(cosx+sinx))+c∫cosxcos+sinxdx=12(x+ln(cosx+sinx))+c